Teorema de Bayes y Aplicaciones

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1.

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al teorema de Bayes para eventos $A$ y $B$ , con $P (B) > 0$ ?

$P (A ∣ B) = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}$
$P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$
$P (A ∣ B) = P (A) P (B)$
$P (A ∣ B) = \frac{P (B)}{P (A)}$

Respuesta correcta:

$P (A ∣ B) = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}$

2.

En el contexto del teorema de Bayes, ¿qué representa la cantidad $P (A)$ ?

La evidencia
La probabilidad previa
La probabilidad posterior
La probabilidad del complemento de $A$

3.

Si $P (D) = 0.2$ , $P (+ ∣ D) = 0.9$ y $P (+ ∣ D^{c}) = 0.1$ , ¿cuál es el valor de $P (+)$ ?

$0.26$
$0.18$
$0.10$

Respuesta correcta:

$0.26$

4.

Una prueba tiene sensibilidad $0.95$ , especificidad $0.90$ y la prevalencia de la condición es $0.10$ . ¿Cuál es $P (D ∣ +)$ ?

$\frac{0.95 \cdot 0.10}{0.95 \cdot 0.10 + 0.10 \cdot 0.90} \approx 0.514$
$\frac{0.90 \cdot 0.10}{0.95 \cdot 0.10 + 0.10 \cdot 0.90} \approx 0.486$
$\frac{0.95 \cdot 0.90}{0.10} \approx 8.55$
$0.95$

Respuesta correcta:

$\frac{0.95 \cdot 0.10}{0.95 \cdot 0.10 + 0.10 \cdot 0.90} \approx 0.514$

5.

Se sabe que $P (A) = 0.4$ , $P (B ∣ A) = 0.7$ y $P (B) = 0.5$ . ¿Cuál es $P (A ∣ B)$ ?

$0.35$
$0.56$
$0.80$
$0.28$

Respuesta correcta:

$0.56$

6.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor el efecto de una tasa base muy baja en $P (D ∣ +)$ , incluso cuando la prueba es bastante buena?

La probabilidad posterior necesariamente coincide con la sensibilidad.
La probabilidad posterior puede seguir siendo moderada o baja por la influencia de los falsos positivos.
La especificidad deja de importar por completo.
La probabilidad posterior siempre supera $0.9$ .

7.

Si dos eventos $A$ y $B$ son independientes y $P (B) > 0$ , ¿qué valor toma $P (A ∣ B)$ ?

$P (B)$
$1 - P (A)$
$P (A)$

Respuesta correcta:

$P (A)$

8.

Una condición tiene prevalencia $0.01$ . Una prueba cumple $P (+ ∣ D) = 0.99$ y $P (+ ∣ D^{c}) = 0.05$ . ¿Cuál es aproximadamente $P (D ∣ +)$ ?

$0.167$
$0.667$
$0.952$
$0.010$

Respuesta correcta:

$0.167$

9.

En una clasificación con dos clases $C_{1}$ y $C_{2}$ , se observa una evidencia $x$ . Si $P (x ∣ C_{1}) P (C_{1}) > P (x ∣ C_{2}) P (C_{2})$ , ¿qué decisión es coherente con la regla MAP?

Elegir $C_{2}$ , porque tiene menor error condicional.
No se puede decidir sin conocer $P (x)$ .
Elegir $C_{1}$ , porque maximiza la probabilidad posterior.
Elegir ambas clases simultáneamente.

Respuesta correcta:

Elegir $C_{1}$ , porque maximiza la probabilidad posterior.

10.

Se tienen tres causas mutuamente excluyentes y exhaustivas $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ con probabilidades previas $0.2, 0.3, 0.5$ . Además, $P (E ∣ H_{1}) = 0.1$ , $P (E ∣ H_{2}) = 0.4$ , $P (E ∣ H_{3}) = 0.2$ . ¿Cuál es $P (H_{2} ∣ E)$ ?

$0.30$
$0.48$
$0.40$
$0.24$

Respuesta correcta:

$0.48$

11.

¿Cuál de las siguientes interpretaciones es correcta para la especificidad de una prueba?

Es $P (D ∣ -)$ .
Es $P (- ∣ D^{c})$ .
Es $P (+ ∣ D)$ .
Es $P (D^{c} ∣ +)$ .

Respuesta correcta:

Es $P (- ∣ D^{c})$ .

12.

Una prueba tiene sensibilidad $0.8$ y especificidad $0.9$ . Si la prevalencia aumenta y todo lo demás permanece constante, ¿qué ocurre con $P (D ∣ +)$ ?

Disminuye necesariamente.
Permanece exactamente igual.
Aumenta.
Se vuelve igual a la especificidad.

13.

Si $P (A ∣ B) = 0.6$ y $P (B) = 0.5$ , ¿cuál es $P (A \cap B)$ ?

$0.30$
$1.10$
$0.10$
$0.55$

Respuesta correcta:

$0.30$

14.

En un filtro de mensajes, el $30 %$ de los mensajes son no deseados. El filtro marca como sospechoso al $85 %$ de los no deseados y al $8 %$ de los deseados. ¿Cuál es la probabilidad de que un mensaje marcado sea realmente no deseado?

$\frac{0.85 \cdot 0.30}{0.85 \cdot 0.30 + 0.08 \cdot 0.70} \approx 0.820$
$\frac{0.08 \cdot 0.70}{0.85 \cdot 0.30} \approx 0.220$
$0.85$
$0.30$

Respuesta correcta:

$\frac{0.85 \cdot 0.30}{0.85 \cdot 0.30 + 0.08 \cdot 0.70} \approx 0.820$

15.

Se sabe que $P (H_{1}) = 0.5$ , $P (H_{2}) = 0.3$ , $P (H_{3}) = 0.2$ , y que $P (E ∣ H_{1}) = 0.2$ , $P (E ∣ H_{2}) = 0.5$ , $P (E ∣ H_{3}) = 0.9$ . Tras observar $E$ , ¿qué hipótesis tiene mayor probabilidad posterior?

$H_{1}$
$H_{2}$
$H_{3}$

Respuesta correcta:

$H_{3}$

16.

Una persona interpreta $P (+ ∣ D) = 0.98$ como si fuera $P (D ∣ +) = 0.98$ . ¿Qué error conceptual está cometiendo?

Está confundiendo sensibilidad con valor predictivo positivo.
Está confundiendo especificidad con prevalencia.
Está suponiendo independencia entre eventos.
Está aplicando correctamente Bayes.

17.

Supón que $A$ y $B$ son independientes condicionados a $H$ . ¿Cuál igualdad expresa esa independencia condicional?

$P (A \cap B) = P (A) P (B)$
$P (A ∣ B, H) = P (A ∣ H)$
$P (H ∣ A, B) = P (H)$
$P (A ∣ H) = P (B ∣ H)$

Respuesta correcta:

$P (A ∣ B, H) = P (A ∣ H)$

18.

En un sistema de detección, $P (F) = 0.04$ , $P (+ ∣ F) = 0.92$ y $P (+ ∣ F^{c}) = 0.03$ . Si se obtiene un resultado positivo, ¿cuál es aproximadamente $P (F ∣ +)$ ?

$0.561$
$0.920$
$0.040$
$0.247$

Respuesta correcta:

$0.561$

19.

Se realizan dos pruebas independientes condicionadas a $D$ y a $D^{c}$ . La prevalencia es $P (D) = 0.1$ . Cada prueba tiene sensibilidad $0.9$ y especificidad $0.8$ . Si ambas resultan positivas, ¿cuál es $P (D ∣ + +)$ ?

$\frac{{0.9}^{2} \cdot 0.1}{{0.9}^{2} \cdot 0.1 + {0.2}^{2} \cdot 0.9} \approx 0.692$
$\frac{0.9 \cdot 0.1}{0.9 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.9} = 0.333$
$\frac{{0.8}^{2} \cdot 0.1}{{0.8}^{2} \cdot 0.1 + {0.1}^{2} \cdot 0.9} \approx 0.877$
$0.81$

Respuesta correcta:

$\frac{{0.9}^{2} \cdot 0.1}{{0.9}^{2} \cdot 0.1 + {0.2}^{2} \cdot 0.9} \approx 0.692$

20.

Un modelo compara dos hipótesis $H_{1}$ y $H_{2}$ . Antes de observar datos, $P (H_{1}) = 0.25$ y $P (H_{2}) = 0.75$ . La evidencia observada cumple $P (E ∣ H_{1}) = 0.6$ y $P (E ∣ H_{2}) = 0.2$ . ¿Cuál afirmación es correcta?

La evidencia favorece a $H_{2}$ porque su probabilidad previa era mayor.
Las probabilidades posteriores quedan iguales porque ambas hipótesis eran exhaustivas.
$P (H_{1} ∣ E) = 0.5$ , por lo que la evidencia compensa exactamente la desventaja previa de $H_{1}$ .
$P (H_{1} ∣ E) = 0.6$ , porque coincide con la verosimilitud.

Respuesta correcta:

$P (H_{1} ∣ E) = 0.5$ , por lo que la evidencia compensa exactamente la desventaja previa de $H_{1}$ .

Respuestas

A.
$P (A ∣ B) = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}$
B.
La probabilidad previa
A.
$0.26$
A.
$\frac{0.95 \cdot 0.10}{0.95 \cdot 0.10 + 0.10 \cdot 0.90} \approx 0.514$
B.
$0.56$
B.
La probabilidad posterior puede seguir siendo moderada o baja por la influencia de los falsos positivos.
C.
$P (A)$
A.
$0.167$
C.
Elegir $C_{1}$ , porque maximiza la probabilidad posterior.
B.
$0.48$
B.
Es $P (- ∣ D^{c})$ .
C.
Aumenta.
A.
$0.30$
A.
$\frac{0.85 \cdot 0.30}{0.85 \cdot 0.30 + 0.08 \cdot 0.70} \approx 0.820$
C.
$H_{3}$
A.
Está confundiendo sensibilidad con valor predictivo positivo.
B.
$P (A ∣ B, H) = P (A ∣ H)$
A.
$0.561$
A.
$\frac{{0.9}^{2} \cdot 0.1}{{0.9}^{2} \cdot 0.1 + {0.2}^{2} \cdot 0.9} \approx 0.692$
C.
$P (H_{1} ∣ E) = 0.5$ , por lo que la evidencia compensa exactamente la desventaja previa de $H_{1}$ .